Los términos ingleses, either, neither y both, pueden resultar un poco confusos a la hora de usarlos. Comencemos diciendo que los tres se refieren a dos cosas. Y dependiendo de la relación entre esas dos cosas y de lo que queramos expresar al respecto de esas dos cosas,  utilizaremos uno de esos tres términos.

Veamos cómo y cuándo se utiliza cada de uno de ellos.

EITHER/OR

Either-or se utiliza para describir una opción entre las dos cosas. Ud. deberá de elegir entre una o la otra cosa, pero no podrá elegir las dos. Veamos un ejemplo a continuación.

She can either wear the red dress or the green one.
Ella puede ponerse o el vestido rojo o el verde.

The boy can either enjoy the party or go home.
El chico puede disfrutar de la fiesta o irse a casa.

Either puede usarse también para expresar que se está de acuerdo con las dos cosas. Por ejemplo:

Would you like coffee or tea?
¿Te gustaría un café o un té?

Either, I like both.
Cualquiera, me gustan los dos.

Either way es una expresión común en inglés y por eso debemos de mencionarla. Significa que la elección entre las dos cosas es insignificante.

Would you either like to drive to the National Park or ride the train?
¿Te gustaría viajar al Parque Nacional en coche o en tren?

Either way is fine with me.
De cualquier modo está bien.

NEITHER/ NOR

Se puede decir que neither/ nor es la negación de either/or. Es decir, cuando se da una opción a elegir entre dos cosas y manifestamos que no nos gusta ni una ni la otra opción.

She can´t wear neither the red dress nor the green one.
No puede ponerse ni el vestido rojo ni el verde.

Neither/nor se puede utilizar también para enfatizar una declaración negativa.

Neither his parents nor his siblings visited his new home.
Ni sus padres ni sus hermanos visitaron su nueva casa.

Neither puede usarse también para negar la opción entre dos cosas.

Neither of my siblings will be here for Christmas.
Ninguno de mis hermanos estará aquí en Navidad.

***ANOTE: Neither and either solamente se usan con nombres singulares. Si se necesita describir nombres en plural, entonces se necesita añadir la preposición of.

Neither of the dogs wanted to go for a walk on this cold day.
Ninguno de los perros quiso salir a caminar en un día tan frío.

BOTH

Both incluye a dos nombres. Cuando queremos decir algo sobre la primera y la segunda cosa, utilizaremos both.

Both his mother and his father will be attending his graduation.
Ambos, su madre y su padre, estarán presentes en su graduación.

Si se necesita incluir ambas cosas en la declaración, pero esta se debe de hacer en forma negativa, entonces el uso de both no es correcto. En ese caso debemos de usar neither.

I ate neither the salad nor the soup.
No comí ni la ensalada ni la sopa.